混合积的计算方法（混合积的几何意义讲解）

向量a,b,c的混合积[abc]=|a×b||c|cosθ,其中θ是向量a×b和向量c的夹角.

首先考虑a×b的模的几何意义，如下图所示：

可以得到，无论向量a与向量b的夹角取何值，a,b构成的平行四边形的面积为|a×b|.

接下来讨论向量a,b和c构成的平行六面体体积：

设向量a和b构成的平面为S，则S=|a×b|.

首先考虑向量a×b和向量c的夹角θ.若0≤θ＜π/2，则向量a,b和c构成的平行六面体如下图所示：

此平行六面体的高h为向量c在向量a×b上的投影，从而h=|c|cosθ，因此V=Sh=|a×b||c|cosθ=[abc].

若π/2<θ≤π，则向量a,b和c构成的平行六面体如下图所示：

此平行六面体的高h为向量c在向量a×b上的投影，即h=-|c|cosθ，因此V=Sh=-|a×b||c|cosθ=-[abc].

当θ=π/2时，向量a,b和c共面，此时向量a,b和c构成的平行六面体体积为0.此时[abc]=|a×b||c|cosθ=0，从而V=[abc].