四棱锥外接球半径公式推导（正四棱锥外接球和内切球的半径）

例题：正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，侧棱长为3，求其外接球和内切球的半径是多少？

关于求外接球半径，首先了解外接球球心的定义：在空间中，若一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

关于内切球半径，若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。体积分割法是求多面体内切球半径的通用做法。

首先画个正四棱锥的图，标准不标准无所谓，自己能看懂，能说明问题就行。

外接球半径：

S、A、B、C、D均在同一球面上，O₁为底面ABCD的中心，也是ABCD所在截面圆的圆心，外接球球心在直线O₁S上，以三角形SBD为研究对象，将立体几何问题平面化，设球心为O（O点位置也可以在S与O₁之间，不影响计算结果），连接OB，OS，OB=OS=球半径R（草稿纸上画的很不标准，但不影响计算结果））OS与BD交点为O₁，SO⊥BD，下面根据勾股定理，就可以算出外接球半径R。具体过程过草稿纸图片。

内切球半径：

方法一：

因为内切球的球心到多面体各面的距离均相等，如草稿纸所示，M、N点分别是内切球与平面SAB和SCD的切点，连接SM、SN并延长，与EF交点为E、F点。

作图，以三角形SEF为研究对象，利用三角形SEF的面积等于三角形OEF、OFS、OSE之和，内切球半径r为高，不难求出r的值。

方法二：

体积分割法，求多面体内切球半径的通用做法，这种方法更简单一些。

求外接球半径方程组的两种解法

将草稿纸进行整理，参考答案如下：

参考答案