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欧拉变换公式三角函数(利用欧拉定理对三角函数和差公式降维打击)

100次浏览     发布时间:2024-09-12 09:21:00    

复数欧拉定理

该公式搭建了复数与指数函数之间的桥梁,而复数又可以用三角函数表示,所以该公式也搭建起了三角函数与指数函数的桥梁。

如此,利用该公式,很多三角函数的问题可以用指数函数来解决。

该公式的证明有很多种方法,如麦克劳林展开式(Maclaurin's Series)。

降维打击三角函数和差公式

根据欧拉定理

式(1)

式(2)

对比(1)式和(2)式,即得到和的三角公式:

式(3)

式(3)

式(4)

对上述β取反,得到差的三角公式:

式(5)

式(6)

积化和差公式

(6)-(4)得积化和差公式:

式(7)

(3)+(5)得积化和差公式:

式(8)

(3)-(5)得积化和差公式:

式(9)

(4)+(6)得积化和差公式:

式(10)

和差化积公式

利用式(8),求得

也即

同样的方法,可以求得

  • 三角函数降幂公式与半角公式

式(7)中,令β=α,则得到

对上式中的α取半,得到降幂公式

进而得到半角公式

同样,式(10)中,令β=α,则得到

对上式中的α取半,得

进而得到半角公式:

  • 心得

不同的三角函数之间存在关联,有时候可以相互转化,由一个公式可以推导出另一个公式。学习者达到融会贯通的境界时,能从中获得一种乐趣。

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