复数欧拉定理

该公式搭建了复数与指数函数之间的桥梁，而复数又可以用三角函数表示，所以该公式也搭建起了三角函数与指数函数的桥梁。

如此，利用该公式，很多三角函数的问题可以用指数函数来解决。

该公式的证明有很多种方法，如麦克劳林展开式（Maclaurin's Series）。

降维打击三角函数和差公式

根据欧拉定理

得

式（1）

式（2）

对比（1）式和（2）式，即得到和的三角公式：

式（3）

式（3）

式（4）

对上述β取反，得到差的三角公式：

式（5）

式（6）

积化和差公式

（6）-（4）得积化和差公式：

式（7）

（3）+（5）得积化和差公式：

式（8）

（3）-（5）得积化和差公式：

式（9）

（4）+（6）得积化和差公式：

式（10）

和差化积公式

利用式（8），求得

也即

同样的方法，可以求得

• 三角函数降幂公式与半角公式

式（7）中，令β=α，则得到

对上式中的α取半，得到降幂公式

进而得到半角公式

同样，式（10）中，令β=α，则得到

对上式中的α取半，得

进而得到半角公式：

• 心得

不同的三角函数之间存在关联，有时候可以相互转化，由一个公式可以推导出另一个公式。学习者达到融会贯通的境界时，能从中获得一种乐趣。